为什么需要树这种数据结构

数组存储方式的分析

  • 优点:通过下标方式访问元素,速度快。对于有序数组,还可使用二分查找提高检索速度。
  • 缺点:如果要检索具体某个值,或者插入值(按一定顺序)会整体移动,效率较低。
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链式存储方式的分析

  • 优点:在一定程度上对数组存储方式有优化(比如:插入一个数值节点,只需要将插入节点,链接到链表中即可,删除效率也很好)。
  • 缺点:在进行检索时,效率仍然较低,比如(检索某个值,需要从头节点开始遍历)

树存储方式的分析

  • 能提高数据存储,读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree),既可以保证数据的检索速度,同时也可以保证数据的插入,删除,修改的速度。
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二叉树的概念

  • 树有很多种,每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
  • 二叉树的子节点分为左节点和右节点
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  • 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层,并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数,则我们称为满二叉树。
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  • 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层,而且最后一层的叶子节点在左边连续,倒数第二 层的叶子节点在右边连续,我们称为完全二叉树
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二叉树遍历的说明

  • 前序遍历: 先输出父节点,再遍历左子树和右子树
  • 中序遍历: 先遍历左子树,再输出父节点,再遍历右子树
  • 后序遍历: 先遍历左子树,再遍历右子树,最后输出父节点
  • 小结: 看输出父节点的顺序,就确定是前序,中序还是后序

二叉树遍历的代码示例

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        // 创建需要的节点
        HeroHode root = new HeroHode(1, "宋江");
        HeroHode hode1 = new HeroHode(2, "吴用");
        HeroHode hode2 = new HeroHode(3, "林冲");
        HeroHode hode3 = new HeroHode(4, "武松");
        HeroHode hode4 = new HeroHode(5, "孙权");
        HeroHode hode5 = new HeroHode(6, "曹操");
        HeroHode hode6 = new HeroHode(7, "刘备");

        // 说明,先手动创建该二叉树,以后会使用递归的方式创建二叉树
        root.setLeft(hode1);
        root.setRight(hode2);
        hode1.setLeft(hode3);
        hode1.setRight(hode4);
        hode2.setLeft(hode5);
        hode2.setRight(hode6);

        binaryTree.setRoot(root);

//        System.out.println(binaryTree.preOrderSearch(5));
//        System.out.println(binaryTree.infixOrderSearch(2));
//        System.out.println(binaryTree.postOrderSearch(4));


        // 1 2 3 5 4
        System.out.println("前序遍历");
        binaryTree.preOrder();

        // 2 1 5 3 4
        System.out.println("中序遍历");
        binaryTree.infixOrder();

        // 2 4 3 1
        System.out.println("后序遍历");
        binaryTree.postOrder();

        binaryTree.deleteNode(5);
        System.out.println("删除后: ");
        binaryTree.preOrder();

    }
}
/**
 * 二叉树
 */
class BinaryTree {

    private HeroHode root;

    public void setRoot(HeroHode root) {
        this.root = root;
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void infixOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    public HeroHode preOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.preOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    public HeroHode infixOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.infixOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    public HeroHode postOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.postOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    public void deleteNode(int no) {
        if (root != null) {
            if (root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                root.deleteNode(no);
            }
        } else {
            System.out.println("空树,不能删除!!!");
        }
    }
}
/**
 * 节点
 */ 
class HeroHode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroHode left;
    private HeroHode right;

    public HeroHode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroHode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroHode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroHode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroHode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroHode right) {
        this.right = right;
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preOrder() {
        // 先输出父节点
        System.out.println(this);
        // 递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        // 递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void infixOrder() {
        // 递归向左子树中序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        // 输出父节点
        System.out.println(this);
        // 递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    /**
     * 后续遍历
     */
    public void postOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }

    /**
     * 根据no前序遍历查找
     *
     * @param no
     * @return
     */
    public HeroHode preOrderSearch(int no) {
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        HeroHode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            // 说明在左子树上找到了
            return resNode;
        }
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /**
     * 根据no中序遍历查找
     *
     *
     * @param no
     * @return
     */
    public HeroHode infixOrderSearch(int no) {
        HeroHode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /**
     * 根据no后序遍历查找
     *
     * @param no
     * @return
     */
    public HeroHode postOrderSearch(int no) {

        HeroHode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        return resNode;
    }

    /**
     * 递归删除节点
     *
     * @param no
     */
    public void deleteNode(int no) {
        if (this.left != null && this.left.no == no) {
            this.left = null;
            return;
        }
        if (this.right != null && this.right.no == no) {
            this.right = null;
            return;
        }
        if (this.left != null) {
            this.left.deleteNode(no);
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.deleteNode(no);
        }
    }
}

顺序存储二叉树

从数据存储来看,数组存储方式和树的存储方式可以相互转换,即数组可以转换成树,树也可以转换成数组。
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顺序存储二叉树的特点:

  • 顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
  • 第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
  • 第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
  • 第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
  • n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号,如上图所示)

顺序存储二叉树代码示例

public class ArrBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
//        arrBinaryTree.preOrder();
//        arrBinaryTree.infixOrder();
        arrBinaryTree.postOrder();
    }
}

class ArrBinaryTree {
    // 存储数据节点的数组
    private int[] arr;

    public ArrBinaryTree(int[] arr) {
        this.arr = arr;
    }

    public void preOrder() {
        preOrder(0);
    }

    /**
     * 顺序存储二叉树的前序遍历
     *
     * @param index 数组的下标
     */
    public void preOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空,不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 输出当前元素
        System.out.println(arr[index]);
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }
        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }
    }

    public void infixOrder() {
        infixOrder(0);
    }

    /**
     * 顺序存储二叉树的前序遍历
     *
     * @param index 数组的下标
     */
    public void infixOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空,不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            infixOrder(2 * index + 1);
        }
        // 输出当前元素
        System.out.println(arr[index]);
        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            infixOrder(2 * index + 2);
        }
    }

    public void postOrder() {
        postOrder(0);
    }

    /**
     * 顺序存储二叉树的前序遍历
     *
     * @param index 数组的下标
     */
    public void postOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空,不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        // 向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            postOrder(2 * index + 1);
        }
        // 向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            postOrder(2 * index + 2);
        }
        // 输出当前元素
        System.out.println(arr[index]);
    }

}

赫夫曼树

基本介绍

  • 给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度(wpl)达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)
  • 赫夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。

赫夫曼树几个重要概念和举例说明

  • 路径和路径长度:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
  • 结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
  • 树的带权路径长度:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
  • WPL最小的就是赫夫曼树
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构成赫夫曼树的步骤:

  • 从小到大进行排序, 将每一个数据,每个数据都是一个节点 , 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
  • 取出根节点权值最小的两颗二叉树
  • 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
  • 再将这颗新的二叉树,以根节点的权值大小 再次排序, 不断重复 1-2-3-4 的步骤,直到数列中,所有的数据都被处理,就得到一颗赫夫曼树

赫夫曼树的代码示例

/**
 * 赫夫曼树
 *
 * @author jianjieming
 * @date 2019/11/20 14:09
 */
public class HuffmanTree {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1};
        Node root = createHuffmanTree(arr);
        perOrder(root);
    }

    /**
     * 创建赫夫曼树
     *
     * @param arr 需要创建成赫夫曼树的数组
     * @return 返回创建好的赫夫曼树的root节点
     */
    public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
        ArrayList<Node> nodes = new ArrayList<>();
        for (int value : arr) {
            nodes.add(new Node(value));
        }
        while (nodes.size() > 1) {
            nodes.sort(Comparator.comparing(Node::getValue));
            System.out.println(nodes);

            // 1.取出权值最小的两个二叉树
            Node leftNode = nodes.get(0);
            Node rightNode = nodes.get(1);

            // 2.构建一个新的二叉树
            Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
            parent.left = leftNode;
            parent.right = rightNode;

            // 3.从ArrayList中删除处理过的二叉树
            nodes.remove(leftNode);
            nodes.remove(rightNode);

            // 4.将parent加入到nodes
            nodes.add(parent);
        }
        // 返回赫夫曼树的root节点
        return nodes.get(0);
    }

    public static void perOrder(Node root) {
        if (root != null) {
            root.perOrder();
        } else {
            System.out.println("树是空的,无法遍历!!!");
        }
    }
}

/**
 * 节点类
 */
class Node {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node{" +
                "value=" + value +
                '}';
    }

    public int getValue() {
        return value;
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void perOrder() {
        System.out.println(this.value);
        if (this.left != null) {
            this.left.perOrder();
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.perOrder();
        }
    }
}

二叉排序树

二叉排序树:BST: (Binary Sort(Search) Tree), 对于二叉排序树的任何一个非叶子节点,要求左子节点的值比当前节点的值小,右子节点的值比当前节点的值大。<br/>
特别说明:如果有相同的值,可以将该节点放在左子节点或右子节点。<br/>
比如(7, 3, 10, 12, 5, 1, 9),对应的二叉排序树为:
image

二叉排序树的删除情况比较复杂,有下面三种情况需要考虑

  • 删除叶子节点 (比如上图:2, 5, 9, 12)
  • 删除只有一颗子树的节点 (比如上图:1)
  • 删除有两颗子树的节点. (比如上图:7, 3,10 )

二叉排序树的代码示例

/**
 * 二叉排序树测试
 *
 * @author jianjieming
 * @date 2019/11/21 9:48
 */
public class BinarySortTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
        BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            binarySortTree.add(new NodeDemo(arr[i]));
        }
        System.out.println("中序遍历二叉排序树: ");
        binarySortTree.infixOrder();

        // 测试删除叶子节点(2, 5, 9, 12)
        binarySortTree.delNode(2);
        binarySortTree.delNode(5);
        binarySortTree.delNode(9);
        binarySortTree.delNode(12);
        binarySortTree.delNode(7);
        binarySortTree.delNode(3);
        binarySortTree.delNode(10);
        binarySortTree.delNode(1);
        System.out.println("删除节点后: ");
        binarySortTree.infixOrder();

    }
}
/**
 * 创建二叉排序树
 */
class BinarySortTree {
    private NodeDemo root;

    /**
     * 添加节点的方法
     */
    public void add(NodeDemo node) {
        if (root == null) {
            root = node;
        } else {
            root.add(node);
        }
    }

    public void infixOrder() {
        if (root != null) {
            root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉排序树为空,无法遍历!!!");
        }
    }

    /**
     * 删除节点
     */
    public void delNode(int value) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            // 1. 先找到要删除的节点 targetNode
            NodeDemo targetNode = search(value);
            // 如果没有找到要删除的节点
            if (targetNode == null) {
                return;
            }
            // 如果当前这颗二叉排序树只有一个节点
            if (root.left == null && root.right == null) {
                root = null;
                return;
            }
            // 查找targetNode的父节点
            NodeDemo parent = searchParent(value);
            // 如果要删除的节点是叶子节点
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                // 判断targetNode是父节点的左子节点还是右子节点
                if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
                    // 是左子节点
                    parent.left = null;
                } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
                    // 是右子节点
                    parent.right = null;
                }
            } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
                // 删除有两颗子树的节点
                int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
//                int maxVal = delLeftTreeMax(targetNode.right);
                targetNode.value = minVal;
            } else {
                // 删除只有一颗子树的节点
                // 如果要删除的节点有左子节点
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果targetNode是parent的左子节点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        } else {
                            // targetNode是parent的右子节点
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                } else {
                    if (parent != null) {
                        // 要删除的节点有右子节点
                        // 如果targetNode是parent的左子节点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.right;
                        } else {
                            // targetNode是parent的右子节点
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 查找要删除的节点
     */
    public NodeDemo search(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.search(value);
        }
    }

    /**
     * 查找父节点
     */
    public NodeDemo searchParent(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.searchParent(value);
        }
    }

    /**
     * 删除以node 为根节点的二叉排序树最小节点
     *
     * @param node 传入的节点(当做二叉排序树的根节点)
     * @return 返回的 以node 为根节点的二叉排序树最小节点的值
     */
    public int delRightTreeMin(NodeDemo node) {
        NodeDemo target = node;
        // 循环查找左节点,就会找到最小值
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        // 这时target就指向了最小节点, 删除最小节点
        delNode(target.value);
        return target.value;
    }

    public int delLeftTreeMax(NodeDemo node) {
        NodeDemo target = node;
        // 循环查找左节点,就会找到最小值
        while (target.right != null) {
            target = target.right;
        }
        // 这时target就指向了最小节点, 删除最小节点
        delNode(target.value);
        return target.value;
    }
}
/**
 * 节点
 */
class NodeDemo {
    int value;
    NodeDemo left;
    NodeDemo right;

    public NodeDemo(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "NodeDemo{" +
                "value=" + value +
                '}';
    }

    /**
     * 添加节点的方法
     */
    public void add(NodeDemo node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        // 判断传入节点的值,和当前子树的根节点的值关系
        if (node.value < this.value) {
            // 如果当前节点左子节点是否为null
            if (this.left == null) {
                this.left = node;
            } else {
                // 递归向左子树添加
                this.left.add(node);
            }
        } else {
            // 添加的节点的值大于当前节点的值
            if (this.right == null) {
                this.right = node;
            } else {
                // 递归向左子树添加
                this.right.add(node);
            }
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void infixOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    /**
     * 查找要删除的节点
     *
     * @param value 希望删除节点的值
     */
    public NodeDemo search(int value) {
        if (value == this.value) {
            return this;
        } else if (value < this.value) {
            // 如果查找的值,小于当前节点,则向左子树递归查找
            if (this.left == null) {
                // 如果左子节点为空
                return null;
            }
            return this.left.search(value);
        } else {
            // 如果查找的值,不小于当前节点,则向右子树递归查找
            if (this.right == null) {
                // 如果左子节点为空
                return null;
            }
            return this.right.search(value);
        }
    }

    /**
     * 查找要删除节点的父节点
     *
     * @param value 要找到的节点的值
     * @return 返回的是要删除节点的父节点, 没有返回null
     */
    public NodeDemo searchParent(int value) {
        // 如果当前节点就是要删除的节点的父节点,就返回
        if ((this.left != null && this.left.value == value)
                || (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        } else {
            // 如果要查找的值小于当前节点的值,并且当前节点的左子节点不为空
            if (value < this.value && this.left != null) {
                // 向左子树递归查找
                return this.left.searchParent(value);
            } else if (value >= this.value && this.right != null) {
                // 向右子树递归查找
                return this.right.searchParent(value);
            } else {
                // 没有找到父节点
                return null;
            }
        }
    }

}